Tensoranalysis

von: Heinz Schade, Klaus Neemann

Walter de Gruyter GmbH & Co.KG, 2006

ISBN: 9783110199765 , 429 Seiten

2. Auflage

Format: PDF, OL

Kopierschutz: Wasserzeichen

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Preis: 39,95 EUR

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Mehr zum Inhalt

Tensoranalysis


 

Vorwort

5

Vorwort der ersten Auflage

6

Inhalt

9

Kapitel 1: Algebraische Hilfsmittel

17

1.1 Die Summationskonvention

17

1.2 N-tupel

21

1.2.1 Definitionen

21

1.2.2 Rechenoperationen

22

1.2.3 Lineare Unabhängigkeit

22

1.3 Determinanten

23

1.3.1 Definitionen

24

1.3.2 Berechnung von Determinanten

25

1.3.3 Rechnen mit Determinanten

27

1.4 Kronecker-Symbole

28

1.4.1 dij

28

1.4.2 d

30

1.4.3 ei...

31

1.4.4 Darstellung einer Determinante mit ei...

34

1.4.5 ei

39

1.5 Matrizen

40

1.5.1 Definitionen

40

1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen

42

1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen

47

1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen, ähnliche Matrizen

47

1.5.5 Orthogonale Matrizen

49

1.6 Algorithmen

50

1.6.1 Berechnung einer Determinante

50

1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix („Division durch eine reguläre Matrix“, gaußscher Algorithmus)

51

1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante

52

Kapitel 2: Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und in kartesischen Koordinaten

53

2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren

53

2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten

53

2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme

54

2.1.3 Eigenschaften der Transformationskoeffizienten

55

2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren

57

2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten

57

2.2 Vektoren

58

2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten

58

2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten

59

2.3 Tensoren

63

2.3.1 Tensoren zweiter Stufe

63

2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe

67

2.3.3 Symmetrien in der Physik

69

2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten- und Matrizenschreibweise

70

2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit

71

2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren

73

2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren

75

2.7.1 Definition

75

2.7.2 Eigenschaften

76

2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten

80

2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und Darstellungsgleichungen

81

2.8 d-Tensor, e-Tensor, isotrope Tensoren

82

2.8.1 Der d-Tensor

82

2.8.2 Der e-Tensor

82

2.8.3 Isotrope Tensoren

84

2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren

84

2.9.1 Definition

84

2.9.2 Eigenschaften

85

2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur

91

2.9.4 Mehrfache skalare Produkte

92

2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren

94

2.10.1 Definition

94

2.10.2 Eigenschaften

98

2.10.3 Das Spatprodukt

99

2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen

100

2.12 Differentialoperationen

101

2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis

102

2.12.2 Der Gradient

102

2.12.3 Das (vollständige) Differential

105

2.12.4 Die Divergenz

107

2.12.5 Die Rotation

109

2.12.6 Der Laplace-Operator

111

2.13 Indexbilanz und Strichbilanz

112

2.14 Integrale von Tensorfeldern

112

2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten

113

2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements

115

2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten

118

2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten

122

2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe

123

2.15 Gaußscher und stokesscher Satz

125

2.15.1 Der gaußsche Satz

125

2.15.2 Der stokessche Satz

129

Kapitel 3: Algebra von Tensoren zweiter Stufe

135

3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors

135

3.2 Die Determinante eines Tensors

137

3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors

138

3.4 Der Kotensor eines Tensors

139

3.5 Der Rang eines Tensors

140

3.6 Der inverse Tensor

140

3.7 Orthogonale Tensoren

142

3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion

143

3.8.1 Rang 3

144

3.8.2 Rang 2

145

3.8.3 Rang 1

147

3.8.4 Rang 0

148

3.9 Reziproke Basen

148

3.9.1 Definition

148

3.9.2 Orthogonalitätsrelationen

149

3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen

150

3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene

151

3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren

152

3.10.1 Rang 3

152

3.10.2 Rang 2

155

3.10.3 Rang 1

156

3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung

158

3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen

158

3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten

159

3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte, Sätze über Eigenwerte

161

3.11.4 Sätze über Eigenvektoren

164

3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen

170

3.12 Symmetrische Tensoren

174

3.12.1 Die Hauptachsentransformation

174

3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors

178

3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors

179

3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen

180

3.13 Orthogonale polare Tensoren

184

3.13.1 Die Drehung in der Ebene

184

3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung

184

3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw. Spiegelungsachse und Drehwinkel

188

3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation

193

3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley-Hamilton-Gleichung

194

3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

194

3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten

196

3.14.3 Die Cayley-Hamilton-Gleichung

198

3.15 Grundinvarianten

199

3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors

201

Kapitel 4: Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten

207

4.1 Krummlinige Koordinaten

207

4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme

207

4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien

209

4.1.3 Holonome Basen

210

4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme

213

4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme

215

4.2 Holonome Tensorkoordinaten

215

4.2.1 Allgemeines

215

4.2.2 Transformationen zwischen zwei krummlinigen Koordinatensystemen

218

4.2.3 Die Summationskonvention

221

4.2.4 Der d-Tensor

222

4.2.5 Herauf- und Herunterziehen von Indizes

226

4.2.6 Der e-Tensor

227

4.2.7 Isotrope Tensoren

231

4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten

231

4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten

237

4.4 Differentialoperationen

239

4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors

240

4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen, Christoffel-Symbole

241

4.4.3 Christoffel-Symbole und Metrikkoeffizienten

242

4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren. Die partielle und die ko-variante Ableitung von Tensorkoordinaten

243

4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren. Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten

245

4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter

247

4.4.7 Der Gradient

247

4.4.8 Divergenz und Rotation

249

4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen

250

4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate. Der Laplace-Operator

253

4.4.11 Integrale von Tensorfeldern

255

Kapitel 5: Darstellungstheorie

261

5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie

261

5.2 Die verallgemeinerte Cayley-Hamilton-Gleichung

263

5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe

265

5.3.1 Invarianten von Vektoren

266

5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe

267

5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren

273

5.3.4 Zusammenfassung

277

5.4 Isotrope Tensorfunktionen

278

5.4.1 Invarianzbedingungen

278

5.4.2 Skalarwertige Funktionen

280

5.4.3 Vektorwertige Funktionen

280

5.4.4 Tensorwertige Funktionen

283

5.4.5 Zusammenfassung

286

5.5 Berücksichtigung von Anisotropien

287

Kapitel 6: Der Vektorraum

293

6.1 Einfache algebraische Systeme

293

6.1.1 Die Halbgruppe

293

6.1.2 Die Gruppe

295

6.1.3 Der Ring

298

6.1.4 Der Körper

300

6.2 Der (affine) Vektorraum

302

6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion

302

6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit

306

6.2.3 Basis und Dimension

306

6.2.4 Koordinaten

310

6.2.5 Transformationsgleichungen

311

6.3 Abbildungen

312

6.3.1 Allgemeine Abbildungen

312

6.3.2 Lineare Abbildungen

313

6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung

320

6.4 Dualität

321

6.4.1 Der Dualraum

321

6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation

322

6.4.3 Duale Basen

324

6.4.4 Transformationsgleichungen

325

6.5 Der (affine) Tensorraum

327

6.5.1 Die tensorielle Multiplikation

327

6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren

328

6.5.3 Transformationsgleichungen

329

6.6 Der euklidische Vektorraum

331

6.6.1 Die skalare Multiplikation

331

6.6.2 Die Metrik

333

6.6.3 Dualität

336

6.7 Der Punktraum

339

6.7.1 Der affine (Punkt-)Raum

339

6.7.2 Der euklidische (Punkt-)Raum

341

Literatur

343

Anhang A: Lösungen der Aufgaben

345

Anhang B: Zylinder- und Kugelkoordinaten

407

Sachwortregister

423